Question

1．求适合下列各条件的直线的方程：
（1）自点P（-3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线与⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1相切；
（2）直线过定点P（5，10）且与原点的距离为5．

Answer 1

分析 （1）点P（-3，3）关于x轴的对称点P′（-3，-3），设反射光线所在直线方程为：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0．利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．
（2）斜率不存在时，直线x=5满足条件．斜率存在时，设直线方程为：y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0．由题意可得：$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解出即可得出．

解答 解：（1）点P（-3，3）关于x轴的对称点P′（-3，-3），
设反射光线所在直线方程为：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0．
∵反射光线与⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1相切，
∴$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$．
∴反射光线所在的直线为：$\frac{4}{3}$x-y+$3×\frac{4}{3}$-3=0，或$\frac{3}{4}x-y+3×\frac{3}{4}$-3=0，
化为：4x-3y+3=0，或3x-4y-3=0．
（2）斜率不存在时，直线x=5满足条件．
斜率存在时，设直线方程为：y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0．
由题意可得：$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得：k=$\frac{3}{4}$．∴直线的方程为：$\frac{3}{4}$x-y+10-5×$\frac{3}{4}$=0，解得3x-4y+25=0．
综上可得：所求的直线方程为：x=5或3x-4y+25=0．

点评 本题考查了直线的方程、对称性、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．