Question

12．设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列4个命题：
①b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有2个不相等的实数根．
上述命题中的所有正确命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①，将b的值代入，可得f（x）的解析式，进而根据函数的图象变化的规律，可得其正确；
②，将c的值代入，可得f（x）的解析式，进而由奇函数判断方法，求有f（-x）与-f（x）的关系，分析可得其正确；
③，由②可得函数f（x）=|x|x+bx的奇偶性，进行图象变化可得其正确；
④，举反例|x|x-5x+6=0有三个解-6、2、3，可得其错误．

解答 解：①当b=0，c＞0时，f（x）=|x|x+c=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+c\\-{x}^{2}+c\end{array}$，结合图形知f（x）=0只有一个实数根，故①正确；
②当c=0时，f（x）=|x|x+bx，有f（-x）=-f（x）=-|x|x-bx，故y=f（x）是奇函数，故②正确；
③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=|x|x+bx，向上或向下平移|c|而得到，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于（0，c）对称，故③正确；
④当b=-5，c=6时，方程|x|x-5x+6=0有三个解-6、2、3，即三个零点，故④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的零点、对称性、奇偶性等知识点，注意结合函数的图象与图象的变化进行分析．