Question

11．对于函数f（x）和实数M，若存在m，n∈N⁺，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，则称（m，n）为函数f（x）关于M的一个“生长点”．若（1，2）为函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）关于M的一个“生长点”，则M=-$\frac{1}{2}$；若f（x）=2x+1，M=105，则函数f（x）关于M的“生长点”共有3个．

Answer 1

分析 根据“生长点”的定义建立方程即可求M，结合等差数列的求和公式进行判断即可．

解答 解：若（1，2）为函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）关于M的一个“生长点”，
则M=f（1）+f（2）+f（3）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{2}$×2+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{2}$×3+$\frac{π}{3}$）
=-sin$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{3}$+cos（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
若f（x）=2x+1，M=105，
则f（m）是公差为2的等差数列，
则由f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=105
得（n+1）（2m+1）+$\frac{（n+1）•n}{2}×2$=105
即（n+1）（2m+1）+n（n+1）=105，
即（n+1）（2m+n+1）=105，
∵105=1×105=3×35=5×21=7×15，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{n+1=3}\\{2m+n+1=35}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{m=16}\end{array}\right.$，此时“生长点”为（2，16），
由$\left\{\begin{array}{l}{n+1=5}\\{2m+n+1=21}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=8}\end{array}\right.$，此时“生长点”为（4，8），
由$\left\{\begin{array}{l}{n+1=7}\\{2m+n+1=15}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{m=4}\end{array}\right.$，此时“生长点”为（6，4），
故函数f（x）关于M的“生长点”共有3个，
故答案为：-$\frac{1}{2}$，3

点评 本题主要考查与等差数列有关的新定义问题，读懂题意结合等差数列的求和公式，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．