Question

20．今年春节期间，某品牌焦糖瓜子抓住“春节消费热”这一时机举行促销活动，若袋中印有“再来一袋”字样，则可以兑换同样的焦糖瓜子一袋（换的瓜子中奖率为0），如果这种瓜子每袋成本5元，投入市场按照每袋10元来销售，“再来一袋”综合中奖率为10%．
（Ⅰ）甲购买该焦糖瓜子3袋，乙购买该瓜子2袋，求乙所购买的瓜子中奖袋数比甲多的概率．
（Ⅱ）若该厂生产这种瓜子10万袋，盈利的期望值是多少？

Answer 1

分析 （1）乙所购买的瓜子中奖袋数比甲多的概率，包括：甲购买的焦糖瓜子都没有中奖而乙买的焦糖瓜子有1袋中奖，甲购买的焦糖瓜子都没有中奖而乙买的焦糖瓜子有2袋中奖，甲购买的焦糖瓜子有1袋中奖，而乙买的焦糖瓜子有2袋中奖，求出相应的概率，即可得到结论；
（2）设生产1袋这种焦糖瓜子盈利为ξ，则ξ=-5，5，求出其概率，可得分布列，从而可得生产这种焦糖瓜子10万袋，盈利的期望值．

解答 解：（Ⅰ）记乙所购买的焦糖瓜子中奖袋数比甲多为事件A，
事件A包括3种情况：
①甲购买的焦糖瓜子都没有中奖，而乙买的焦糖瓜子有1袋中奖，
其概率为P₁=C₃⁰（1-0.1）³•C₂¹（0.1）（1-0.1）=0.13122，
②甲购买的焦糖瓜子都没有中奖，而乙买的焦糖瓜子有2袋中奖，
其概率为P₂=C₃⁰（1-0.1）³•C₂²（0.1）²=0.00729，
③甲购买的焦糖瓜子有1袋中奖，而乙买的焦糖瓜子有2袋中奖，
其概率为P₃=C₃¹（0.1）（1-0.1）²•C₂²（0.1）²=0.00243，
则P（A）=P₁+P₂+P₃=0.13122+0.00729+0.00243=0.14094．
∴乙所购买的瓜子中奖袋数比甲多的概率为0.14094．
（Ⅱ）设生产1瓶这种饮料盈利为ξ，则ξ=-5，5，
P（ξ=-5）=0.1，P（ξ=5）=0.9
故ξ的分布列为

ξ	-5	5
P	0.1	0，9

生产这种饮料10万瓶，盈利的期望值Eξ=（-5×0.1+5×0.9）×10=40万元．

点评 本题考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确分类，利用互斥事件求概率．