Question

10．已知f（c）=（c-a）（c-b），其中a+b=1-c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{1}{8}$，1]
• B． [0，1]
• C． [0，$\frac{1}{4}$]
• D． [-$\frac{1}{9}$，1]

Answer 1

分析 由f（c）=（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．

解答 解：f（c）=（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab
≥c²-c（a+b）=c²-c（1-c）
=$2（c-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}≥-\frac{1}{8}$，
当c=$\frac{1}{4}$，a=0，b=$\frac{3}{4}$时，f（c）=$-\frac{1}{8}$，
∴f（c）的最小值为-$\frac{1}{8}$；
又f（c）=c²-（1-c）c+ab
$≤{c}^{2}-c+{c}^{2}+（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$2{c}^{2}-c+（\frac{1-c}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}{c}^{2}-\frac{3}{2}c+\frac{1}{4}$
=$\frac{9}{4}（c-\frac{1}{3}）^{2}$，
由0≤c=1-a-b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．
∴f（c）的取值范围为[$-\frac{1}{8}，1$]．
故选：A．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用基本不等式求函数的值域，考查灵活变形能力，属中档题．