Question

19．为了解某种树苗培育情况，研究所在苗圃基地花木园中随机抽出30株树苗的主体高，编成如图所示的茎叶图，若苗主体高在169cm以上（包括169cm）定义为“优质苗”，高在169cm以下（不包括169cm）定义为“普苗”
（1）如果用分层抽样的方法从“优质苗”和“普苗”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有1株是“优质苗”的概率是多少？
（2）根据统计学的基本思想，用样本估计总体，把频率作为概率，若从该花木园随机选3株出售，价格是：“优质苗”每株3，“普苗”每株1（单位：千元）用X表示销售3株的总收入，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图得用分层抽样的方法从“优质苗”和“普苗”中抽取5株，抽到株“优质苗”，抽到2株“普苗”，再从这5株中选2株，求出基本基本总数，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1株是“优质苗”的概率．
（2）由已知得X的可能能取值为3，5，7，9，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由茎叶图得“优质苗”有18株，“普苗”有12株，
用分层抽样的方法从“优质苗”和“普苗”中抽取5株，
抽到$\frac{5}{30}×18$=3株“优质苗”，抽到$\frac{5}{30}×12$=2株“普苗”，
再从这5株中选2株，基本基本总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
至少有1株是“优质苗”的概率：p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{10}$．
∴至少有1株是“优质苗”的概率是$\frac{9}{10}$．
（2）由已知得X的可能能取值为3，5，7，9，
P（X=3）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{220}{4060}$=$\frac{55}{1015}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{18}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1188}{4060}$=$\frac{297}{1015}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{18}^{2}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1836}{4060}$=$\frac{459}{1015}$，
P（X=9）=$\frac{{C}_{18}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{816}{4060}$=$\frac{204}{1015}$，
∴X的分布列为：

X	3	5	7	9
P	$\frac{55}{1015}$	$\frac{297}{1015}$	$\frac{459}{1015}$	$\frac{204}{1015}$

EX=$3×\frac{55}{1015}$+$5×\frac{297}{1015}$+7×$\frac{459}{1015}$+9×$\frac{204}{1015}$=6.6．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意茎叶图、分层抽样的性质的合理运用．