Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点，E为BC所在直线上的一点
（1）求证：平面PAD⊥平面PGB；
（2）记$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，当平面PDC和平面PGE所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由正三角形性质的BG⊥AD，由此能证明BG⊥平面PAD，即可证明平面PAD⊥平面PGB；
（2）以G为原点，建立空间直角坐标系G-xyz，由此能利用平面PDC和平面PGE所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，求λ的值．

解答 （1）证明：连结BD．
∵ABCD为菱形，且∠DAB=60°
∴△ABD为正三角形．
又G为AD的中点，
∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD．
∵BD?平面PGB，
∴平面PAD⊥平面PGB；
（2）解：∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．
∵PG?平面PAD，由（1）得：PG⊥GB．
又由（1）知BG⊥AD．∴PG、BG、AD两两垂直．
故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系G-xyz，PG=PDcos30°=$\sqrt{3}$，GB=ABsin60°=$\sqrt{3}$
所以G（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，2，0），E（$\sqrt{3}$，2λ，0）
所以$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=-1，y=$\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
设平面PGE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则
因为$\overrightarrow{PG}$=（0，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（$\sqrt{3}$，2λ，0），
所以$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}c=0}\\{\sqrt{3}a+2λb=0}\end{array}\right.$，所以取$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{λ}$，0）
因为平面PDC和平面PGE所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以$\frac{|-2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{λ}|}{\sqrt{5}•\sqrt{12+\frac{9}{{λ}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以λ=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时正确运用向量法是关键．