Question

14．已知p：“a≥$\frac{12}{t+\frac{1}{t}}$对t∈（0，+∞）恒成立”，q：“直线x-2y+a=0与曲线y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$有2个公共点”，则￢p是q的（　　）

• A． 必要不充分条件
• B． 充分不必要条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 利用基本不等式求出$\frac{12}{t+\frac{1}{t}}$在t∈（0，+∞）上的最大值，得到a的范围；再利用数形结合求得直线x-2y+a=0与曲线y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$有2个公共点的a的范围，然后结合必要条件、充分条件及充要条件的判断方法得答案．

解答 解：对于p，∵t∈（0，+∞），
∴$t+\frac{1}{t}≥2$（当且仅当t=1时取“=”），则$\frac{12}{t+\frac{1}{t}}≤6$，
∴a≥6；
对于q，
由曲线y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$，得（x-1）²+（y-1）²=5（$1-\sqrt{5}≤x≤1+\sqrt{5}$，y≥1），
如图，当直线x-2y+a=0过（1+$\sqrt{5}$，1）时，有1+$\sqrt{5}-2$+a=0，a=1-$\sqrt{5}$，
由（1，1）到直线x-2y+a=0的距离为d=$\frac{|1-2+a|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，解得a=-4或a=6，
∴要使直线x-2y+a=0与曲线y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$有2个公共点，
则1-$\sqrt{5}＜a＜6$．
若￢p成立，则a＜6，不一定又q成立，反之，若q成立，即1-$\sqrt{5}＜a＜6$，一定有￢p成立．
则￢p是q的必要不充分条件．
故选：A．

点评 本题考查必要条件、充分条件及充要条件的判断方法，考查了恒成立问题的求法，体现了数形结合的解题思想方法，属中档题．