Question

9．设[x]表示不超过实数x的最大整数，集合A={n|n=[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]，1≤k≤2016，k∈N}，则A中元素的个数是1512．

Answer 1

分析 由$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$-$\frac{{k}^{2}}{2015}$=$\frac{2k+1}{2015}$，把1≤k≤2016，k∈N分为两类，当k=0，1，2，3，…，1007时，求出满足条件的[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]的个数为503，当k=1008，1009，…，2016时，求出满足条件的[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]的个数为1009，则答案可求．

解答 解：∵当k=0，1，2，3，…，1007时，
$\frac{（k+1）^{2}}{2015}-\frac{{k}^{2}}{2015}=\frac{2k+1}{2015}≤1$，
∴[$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$]=[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]，或[$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$]=[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]+1，
∵[$\frac{100{7}^{2}}{2015}$]=503，[$\frac{{1}^{2}}{2015}$]=0，
∴当k=0，1，2，3，…，1007时，[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]能取0，1，2，3，…，503共504个数，
又当k=1008，1009，…，2016时，
$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$-$\frac{{k}^{2}}{2015}$=$\frac{2k+1}{2015}＞1$，
∴[$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$]≥[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]+1，
即[$\frac{100{8}^{2}}{2015}$]，[$\frac{100{9}^{2}}{2015}$]，…，[$\frac{201{6}^{2}}{2015}$]共有2016-1007=1009个不同的数．
∵[$\frac{100{8}^{2}}{2015}$]=504＞503=[$\frac{100{7}^{2}}{2015}$]．
∴A中元素的个数是1009+503=1512．
故答案为：1512．

点评 本题考查元素与集合间关系的判断，注意对[x]定义的理解，借助于$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$-$\frac{{k}^{2}}{2015}$=$\frac{2k+1}{2015}$分类求解，使繁杂的问题变得相对简单，该题是中档题．