Question

18．已知{a_n}是首项不为零的等差数列，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$是与n无关的常数k，则k=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知推导出2a₁-d=k（4a₁-2d），且d=4kd，从而得到k=$\frac{1}{2}$或d=2a₁．d=0 或k=$\frac{1}{4}$．由此能求出k．

解答 解：∵{a_n}是首项不为零的等差数列，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$是与n无关的常数k，
∴S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
S_2n=2na₁+$\frac{1}{2}$•2n（2n-1）d，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{2{a}_{1}+（n-1）d}{4{a}_{1}+（4n-2）d}$=k，
则2a₁+（n-1）d=k•[4a₁+（4n-2）d]对于任意的n恒成立．
（2a₁-d）+nd=k（4a₁-2d）+4kdn，
故：2a₁-d=k（4a₁-2d），（1）
且d=4kd，（2）
由（1）得：k=$\frac{1}{2}$或d=2a₁．
当d=2a₁时．S_n=n²•a₁，S_2n=4n²•a₁，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{4}$成立．
由（2）得：d=0 或k=$\frac{1}{4}$，
当d=0时，S_n=na₁，S_2n=2na₁，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$n=$\frac{1}{2}$，
当d≠0时，k=$\frac{1}{4}$，代入（1）得：d=2a₁，
此时：S_n=n²•a₁，S_2n=4n²•a₁，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=$\frac{1}{4}$成立．
综上可知：k=$\frac{1}{2}$或k=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．