Question

9．与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同渐近线，且与椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}$=1有共同焦点的双曲线方程是$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 设所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求得已知椭圆的焦点，可得c=$\sqrt{6}$，即a²+b²=6，再求已知双曲线的渐近线方程，可得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：设所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}$=1的焦点（0，±$\sqrt{6}$），
可得c=$\sqrt{6}$，即a²+b²=6，
又双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
可得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=2，
即有所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的焦点坐标和已知双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．