Question

18．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值，则AC和BC可求，进而根据双曲线的定义求得双曲线的实轴长．

解答 解：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，
则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形ABCD的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ
=8+8sinθ-8sin²θ=-8（sinθ-$\frac{1}{2}$）²+10，
当sinθ=$\frac{1}{2}$，即θ=30°时，l有最大值10，
即有BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，a=$\frac{1}{2}$（AC-BC）=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的实轴长为2a=2$\sqrt{3}$-2．
故答案为：2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题主要考查了双曲线的应用，双曲线的定义．考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．