Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率$\frac{b}{a}$，
即有$\frac{b}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{4}{3}$，
∴e≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，考查离心率的范围的求法，解题时要注意渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．