Question

17．设S为平面上以点A（4，1），B（-1，-6），c（-3，2）为顶点的三角形区域．（三角形内部及边界）试求当点（x，y）在区域S上变动时
（1）t=4x-3y的最大值和最小值．
（2）若把t=4x-3y变为t=400x-300y呢？
（3）又把t=4x-3y改为t=4x+y时结果如何？

Answer 1

分析 作出平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）由t=4x-3y得y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$，由图象可知当直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$，过点B时，直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$截距最小，此时t最大，
代入目标函数t=4x-3y，
得t=4×（-1）-3×（-6）=-4+18=14．
∴目标函数t=4x-3y的最大值是14．
过点C时，直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{t}{3}$截距最大，此时t最小，
代入目标函数t=4x-3y，
得t=4×（-3）-3×2=-12-6=-18，
∴目标函数t=4x-3y的最小值是-18．
故t的最大值为14，最小值为-18；
（2）t=400x-300y，则$\frac{1}{100}$t=4x-3y，
由（1）可知t的最大值为1400，最小值为-1800；
（3）t=4x+y，直线与BC平行，在边界BC上取得最小值-10，在A处取得最大值17．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．