Question

8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若棱BB₁=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，则AD₁与BC所成角等于45°，CD₁与AB所成角等于30°，CD₁与A₁D所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由BC∥AD，知∠DAD₁是异面直线AD₁与BC所成角，由此能求出AD₁与BC所成角；由AB∥CD，得∠DCD₁是CD₁与AB所成角，由此能求出CD₁与AB所成角；由CD₁∥A₁B，知∠DA₁B是CD₁与A₁D所成角，由此能求出CD₁与A₁D所成角的余弦值．

解答 解：∵BC∥AD，∴∠DAD₁是异面直线AD₁与BC所成角，
∵棱BB₁=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴∠DAD₁=45°，
∴AD₁与BC所成角等于45°；
∵AB∥CD，∴∠DCD₁是CD₁与AB所成角，
∵BB₁=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴cos∠DCD₁=$\frac{DC}{{D}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠DCD₁=30°，
∴CD₁与AB所成角等于30°；
∵CD₁∥A₁B，∴∠DA₁B是CD₁与A₁D所成角，
∵A₁D=$\sqrt{2}$，A₁B=2，BD=2，
∴cos∠DA₁B=$\frac{2+4-4}{2×\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴CD₁与A₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：45°，30°，$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养产．