Question

3．已知函数f（x）=2^x-2^-x，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}中的最大的项．

Answer 1

分析 （1）由已知结合f（log₂a_n）=-2n得到数列递推式，整理后求解关于a_n的一元二次方程得答案；
（2）直接利用作商法证明数列是递减数列，数列{a_n}的首项为最大项．

解答 解：f（log₂a_n）=${2}^{lo{g}_{2}{a}_{n}}$-${2}^{-lo{g}_{2}{a}_{n}}$=${a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}$=-2n，
∴${a}_{n}^{2}+2n{a}_{n}-1=0$
解得a_n=-n±$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∵a_n＞0，
a_n=$\sqrt{{n}^{2}+1}-n$，n∈N^*；
（2）$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\sqrt{（n+1）^{2}}-（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}+1}-n}$，
=$\frac{\sqrt{{n}^{2}+1}+n}{\sqrt{（n+1）^{2}+1}+（n+1）}$＜1，
∴数列{a_n}中最大的项为首项，${a}_{1}=\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了利用作商法证明数列是递减数列，是中档题．