Question

18．（1）求函数y=3-4cos（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]的最大值和最小值及相应的x值．
（2）求函数y=cos²x+2sinx-2，x∈R的值域．
（3）若函数f（x）=-sin²x+acosx+2，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最小值为$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的图象和性质，求得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，即可求得函数的最大值与最小值；
（2）将原函数转换为y=-sin²x+2sinx-1，将其看成关于t的一元二次函数，写出t的取值范围，根据二次函数的性质求得值域；
（3）将原函数转换f（t）=t²+at+1，t∈[0，1]，讨论对称轴的取值，根据二次函数性质求出a的值．

解答 解：（1）y=3-4cos（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=0时取最小值，最小值为-1，即x=-$\frac{π}{6}$，
2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时取最大值，最大值为5，即x=$\frac{π}{6}$，
∴x=-$\frac{π}{6}$时，y取最小值为-1，
x=$\frac{π}{6}$时，y取最大值为5；
（2）y=cos²x+2sinx-2，
=-sin²x+2sinx-1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴y=-t²+2t-1，t∈[-1，1]，
由二次函数图象可知，对称轴为1，
∴y在定义域[-1，1]上单调递增，
y的值域为[-4，0]，
∴函数y=cos²x+2sinx-2，x∈R的值域[-4，0]；
（3）f（x）=-sin²x+acosx+2，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）=cos²x+acosx+1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
令cosx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=t²+at+1，t∈[0，1]，
由二次函数性质可知：a＜0，
当对称轴t=-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2时，
∴最小值为f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a=$-\frac{3}{2}$＞-2，不成立，
当0-$\frac{a}{2}$≤1，-2≤a≤0，
当t=-$\frac{a}{2}$取最小值，
∴a=-2．

点评 本题考查三角函数图象与性质与一元二次函数结合，属于中档题．