Question

10．已知f（x）为[-3，3]上的偶函数，当0≤x≤3时，f（x）=e^x+3x．
（1）求-3≤x≤0时，f（x）的解析式；
（2）解关于a的不等式f（a²-2）＞f（2a）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可．
（2）利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）若-3≤x≤0，则0≤-x≤3，
∵当0≤x≤3时，f（x）=e^x+3x．
∴当0≤-x≤3时，f（-x）=e^-x-3x．
∵f（x）为[-3，3]上的偶函数，
∴f（-x）=e^-x-3x=f（x），
即f（x）=e^-x-3x．-3≤x≤0，
（2）当0≤x≤3时，f（x）=e^x+3x为增函数，
∵f（x）为[-3，3]上的偶函数，
∴不等式f（a²-2）＞f（2a）等价为不等式f（|a²-2|）＞f（|2a|）．
即$\left\{\begin{array}{l}{|{a}^{2}-2|＞|2a|}\\{{-3≤a}^{2}-2≤3}\\{-3≤2a≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2＞2a或{a}^{2}-2＜-2a}\\{-1≤{a}^{2}≤5}\\{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a-2＞0或{a}^{2}+2a-2＜0}\\{-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}}\\{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1+\sqrt{3}或a＜1-\sqrt{3}或-1-\sqrt{3}＜a＜-1+\sqrt{3}}\\{-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}}\\{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$-\frac{3}{2}$≤a＜$\sqrt{3}-1$，
即不等式的解集为[$-\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}-1$）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，利用函数奇偶性的对称性以及函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．