Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=8，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是120°．
（I）计算：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|；
（II）当k为何值时，（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．

Answer 1

分析 （I）求出各向量的平方，然后开方即可得到所求向量的模．
（II）令（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，列出方程解出k．

解答 解：（I）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4×8×cos120°=-16．
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16+64-32=48，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$．
（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=16+64+256=336．
∴|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{336}$=4$\sqrt{21}$．
（II）若（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0．
∴k${\overrightarrow{a}}^{2}+（2k-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即16k-16（2k-1）-128=0，
解得k=-7．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，向量垂直与数量级的关系，属于中档题．