Question

14．已知x，y满足：$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{x-2y≥0}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，则$\frac{2y-x+1}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{3}$]
• B． [-1，1]
• C． [0，$\frac{1}{3}$]
• D． [0，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，$\frac{2y-x+1}{x+1}$=2×$\frac{y+1}{x+1}$-1，设z=$\frac{y+1}{x+1}$，则z的几何意义为动点P（x，y）到点（-1，-1）的斜率，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图．
$\frac{2y-x+1}{x+1}$=2×$\frac{y+1}{x+1}$-1
设z=$\frac{y+1}{x+1}$，则z的几何意义为动点P（x，y）到点（-1，-1）的斜率，
由图象可知当点P位于点O时，直线的斜率最大为1，
当点P位于点B时，直线的斜率最小为0
即0≤z≤1，
∴-1≤2z-1≤1，
即$\frac{2y-x+1}{x+1}$的取值范围是[-1，1]．
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用和两点的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．