Question

11．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S_△ABC=$\sqrt{3}$，c=2，f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$．求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f（x）═$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f（x）的值域；
（2）f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$，求得C=$\frac{π}{6}$，由三角形的面积公式求得ab=4$\sqrt{3}$，余弦定理求得a²+b²=16，联立求得a、b的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
f（x）的最小正周期π，
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，2x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
f（x）的值域[-$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$]；
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2（C+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$，
∴sin（2C+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，cos2C=$\frac{1}{2}$，角C为锐角，
C=$\frac{π}{6}$，
S=$\frac{1}{2}absinC$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，
ab=4$\sqrt{3}$，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
a²+b²=16，
解得b=2，a=2$\sqrt{3}$或b=2$\sqrt{3}$，a=2，

点评 本题考查三角恒等变换，正弦函数图象及性质、余弦定理，过程较繁琐，属于中档题．