Question

1．在一次数学竞赛的200名学生考试成绩中利用随机抽样的方法抽取20名学生考试成绩（单位：分）为样本得频率分布直方图如图：
（1）求频率分布直方中a的值；
（2）若60为及格，90分以上（包括90分）为优秀，求这次竞赛不及格率和不及格的学生数以及优秀率和优秀的学生数；
（3）从样本成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质得（2a+3a+6a+7a+2a）×10=200a=1，由此能求出a．
（2）先求出分数在60分以下的频率，从而求出这次竞赛不及格的学生人数，求出分数在90分（包括90分）以上的频率，从而能求出这次竞赛优秀的学生人数．
（3）样本中落在[60，70）中的学生人数为3人．设样本中落在[50，60）中的2人成绩为A₁，A₂，落在[60，70）中的3人为B₁，B₂，B₃．由此能求出此2人的成绩都在[60，70）中的概率．

解答 解：（1）∵组距为10，∴（2a+3a+6a+7a+2a）×10=200a=1，
∴a=$\frac{1}{200}$=0.005．…（2分）
（2）分数在6（0分）以下的频率为2a×10=20a=0.1=10%，
∴这次竞赛不及格的学生人数为0.1×200=20．…（4分）
分数在9（0分）（包括90分）以上的频率为2a×10=20a=0.1=10%，
∴这次竞赛优秀的学生人数为0.1×200=20．…（6分）
（3）∵样本中落在[60，70）中的学生人数为3a×10×20=3×0.005×10×20=3．
∴设样本中落在[50，60）中的2人成绩为A₁，A₂，落在[60，70）中的3人为B₁，B₂，B₃．
则从[50，70）中选2人共有$C_5^2=\frac{5×4}{2}=10$种选法，
其中2人都在[60，70）中的基本事件有$C_3^2=C_3^1=3$种，
故所求概率p=$\frac{3}{10}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．