Question

12．若sinθ+2cosθ=1，则$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=-7或1（算出一个给2分）．

Answer 1

分析 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简可得cosθ（3cosθ+4sinθ）=0，从而可得cosθ=0，或3cosθ+4sinθ=0，分类讨论，即可得解．

解答 解：∵sinθ+2cosθ=1，
∴两边平方可得：sin²θ+4cos²θ+4sinθcosθ=1，
∴3cos²θ+4sinθcosθ=0，
∴cosθ（3cosθ+4sinθ）=0，
∴cosθ=0，或3cosθ+4sinθ=0，
若cosθ=0，则sinθ=1，可得：$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{1-0}{1+0}$=1；
若3cosθ+4sinθ=0，即：tanθ=-$\frac{3}{4}$，可得：$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{-\frac{3}{4}+1}$=-7．
故答案为：-7或1（算出一个给2分）．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于基础题．