Question

4．如图，在△ABC中，|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CB}$|=2，∠ACB=75°，$\overline{AD}$=λ$\overrightarrow{DB}$
（1）若λ=1，求|$\overrightarrow{CD}$|的值；
（2）若$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由λ=1，求出$\overrightarrow{C{D}^{2}}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）^{2}$=$\frac{1}{4}×（16-2\sqrt{3}）$，从而可得到|$\overrightarrow{CD}$|的值；
（2）运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$，由向量垂直的条件：数量积为0，即可得λ的值．

解答 解：（1）∵λ=1，∴D为线段AB的中点，
∴$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，
∴$\overrightarrow{C{D}^{2}}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）^{2}$=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{C{A}^{2}}+\overrightarrow{C{B}^{2}}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}）$
=$\frac{1}{4}×（10+2×\sqrt{6}×2cos75°）$=
=$\frac{1}{4}[10+4\sqrt{6}（cos45°cos30°-sin45°sin30°）]$
=$\frac{1}{4}[10+4\sqrt{6}（\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}）]$
=$\frac{1}{4}×（16-2\sqrt{3}）$．
∴$|\overrightarrow{CD}|=\frac{\sqrt{16-2\sqrt{3}}}{2}$；
（2）∵$\overline{AD}$=λ$\overrightarrow{DB}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+$$\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{CA}+\frac{λ}{1+λ}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{1+λ}\overrightarrow{CA}+\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{CB}$．
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{1+λ}（\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{1+λ}[λ\overrightarrow{C{B}^{2}}-\overrightarrow{C{A}^{2}}+（1-λ）\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}]$
=$\frac{1}{1+λ}[4λ-6+（1-λ）×\sqrt{6}×2cos75°]=0$，
即4λ-6+（1-λ）×$\sqrt{6}×2$cos（45°+30°）=0，
∴4λ-6+（1-λ）×$\sqrt{6}×2$（cos45°cos30°-sin45°sin30°）=0，
∴4λ-6+2$\sqrt{6}$（1-λ）（$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$）=0．
解得：$λ=\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的模的求法，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，注意运用向量共线定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．