Question

7．有一个综艺节目，选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，某机构随机抽取50个参与节目的选手的年龄作为样本进行分析研究，由此得到如下频数分布表（所有参与节目的选手年龄都在[5，65）内）．

选手年龄	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
频数	2	12	16	10	7	3

（Ⅰ）在表中作出这些数据的频率分布直方图；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从参与节目的选手中随机抽取3位（看作有放回地抽取），求年龄在[35，45）内的选手人数X的分布列、数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知作出频率分布表，从而能画出频率分布直方图．
（Ⅱ）50个选手中年龄在[35，45）内的选手人数为：10人，将频率视为概率，从参与节目的选手中随机抽取3位（看作有放回地抽取），年龄在[35，45）内的选手人数X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出年龄在[35，45）内的选手人数X的分布列、数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知作出频率分布表：

选手年龄	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
频数	2	12	16	10	7	3
频率	0.04	0.24	0.32	0.2	0.14	0.06

∴频率分布直方图为：

（Ⅱ）50个选手中年龄在[35，45）内的选手人数为：10人，
将频率视为概率，从参与节目的选手中随机抽取3位（看作有放回地抽取），年龄在[35，45）内的选手人数X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{40}^{3}}{{C}_{50}^{3}}$=$\frac{247}{490}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{40}^{2}}{{C}_{50}^{3}}$=$\frac{195}{490}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{40}^{1}}{{C}_{50}^{3}}$=$\frac{45}{490}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{50}^{3}}$=$\frac{3}{490}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{247}{490}$	$\frac{195}{490}$	$\frac{45}{490}$	$\frac{3}{490}$

EX=$0×\frac{247}{190}+1×\frac{195}{490}+2×\frac{45}{490}+3×\frac{3}{490}$=$\frac{21}{35}$．

点评 本题考查频率分布直方图的画法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．