Question

12．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$
（1）求异面直线AD₁与BC所成角的大小
（2）求异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1））由AD∥BC，得∠D₁AD是异面直线AD₁与BC所成角，由此能求出异面直线AD₁与BC所成角．
（2）由AD₁∥BC₁，得∠A₁BC₁是异面直线A₁B与AD₁所成角，由此能求出异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∴∠D₁AD是异面直线AD₁与BC所成角，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$，
∴AD=1，DD₁=$\sqrt{3}$，tan∠D₁AD=$\frac{D{D}_{1}}{AD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D₁AD=60°，
∴异面直线AD₁与BC所成角为60°．
（2）∵AD₁∥BC₁，∴∠A₁BC₁是异面直线A₁B与AD₁所成角，
∵A₁B=$\sqrt{2+3}$=$\sqrt{5}$，BC₁=$\sqrt{1+3}$=2，A₁C₁=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠A₁BC₁=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}-{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{2×{A}_{1}B×B{C}_{1}}$=$\frac{5+4-3}{2×\sqrt{5}×4}$=$\frac{3\sqrt{5}}{20}$．
∴异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值$\frac{3\sqrt{5}}{20}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．