Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n=2a_n+1-1，令b_n=a_n-1．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，求证：数列{c_n}的前n项和T_n＜n+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1a_n=2a_n+1-1化简可得（a_n+1-1）（a_n-1）=（a_n+1-1）-（a_n-1），从而可得$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=-1，从而证明；
（2）由（1）可求得a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，从而可得c_n=1+$\frac{1}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），从而利用裂项求和法求得．

解答 证明：（1）∵a_n+1a_n=2a_n+1-1，
∴（a_n+1-1）（a_n-1）=a_n+1a_n-a_n+1-a_n+1
=2a_n+1-1-a_n+1-a_n+1=（a_n+1-1）-（a_n-1），
易知a_n-1≠0，
即b_n+1b_n=b_n+1-b_n，
故$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=-1，
又∵$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=-2，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以-2为首项，-1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，$\frac{1}{{b}_{n}}$=-n-1，故b_n=-1=-$\frac{1}{n+1}$，
故a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{n+1}{n+2}}{\frac{n}{n+1}}$=1+$\frac{1}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故T_n=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜n+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了构造法与转化思想的应用，属于中档题．