Question

16．已知ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，若x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）

• A． y=g（x）是奇函数
• B． y=g（x）的图象关于点（-$\frac{π}{2}$，0）对称
• C． y=g（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称
• D． y=g（x）的周期为π

Answer 1

分析 根据x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．

解答 解：∵若x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，
∴若x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，
则函数的周期T=2×（$\frac{7π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，则ω=1，
即f（x）=cos（x+φ），
①若x=$\frac{π}{6}$时，函数取得极大值，则f（$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
则$\frac{π}{6}$+φ=2kπ，即φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，当k=0时，φ=-$\frac{π}{6}$，此时f（x）=cos（x-$\frac{π}{6}$），
将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，
即g（x）=）=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cosx，
此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，
g（-$\frac{π}{2}$）=cos（-$\frac{π}{2}$）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（-$\frac{π}{2}$，0）对称，故B正确，
g（$\frac{π}{2}$）=cos（$\frac{π}{2}$）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=$\frac{π}{2}$不对称，故C错误，
y=g（x）的周期为2π，故D错误，
②若x=$\frac{π}{6}$时，函数取得极小值，则f（$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{6}$+φ）=cos（$\frac{π}{6}$+φ）=-1，
则$\frac{π}{6}$+φ=2kπ-π，即φ=2kπ-$\frac{7π}{6}$，当k=1时，φ=$\frac{5π}{6}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴此时φ不存在．
综上故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，根据条件求出ω 和φ的值，以及根据三角函数的图象关系求出g（x）的解析式是解决本题的关键．综合考查三角函数的奇偶性，对称性，周期的性质，综合性较强，有一定的难度．