Question

19．若斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$相交于两个不同的点M，N，且线段MN的中垂线与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{81}{2}$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=kx+t，代入双曲线方程，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及判别式大于0，求得垂直平分线方程，可得x，y轴的交点，求得面积，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：设直线l的方程为y=kx+t，代入双曲线5x²-4y²=20，
可得（5-4k²）x²-8ktx-4t²-20=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得△=64k²t²+4（5-4k²）（4t²+20）＞0，
化为t²+5-4k²＞0，①
且x₁+x₂=$\frac{8kt}{5-4{k}^{2}}$，
即有MN的中点为（$\frac{4kt}{5-4{k}^{2}}$，$\frac{5t}{5-4{k}^{2}}$），
可得线段MN的中垂线方程为y-$\frac{5t}{5-4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4kt}{5-4{k}^{2}}$），
即为y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{9t}{5-4{k}^{2}}$，
可得坐标轴的交点为（0，$\frac{9t}{5-4{k}^{2}}$），（$\frac{9kt}{5-4{k}^{2}}$，0），
即有与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{81|k|{t}^{2}}{（5-4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{81}{2}$，
即有|k|t²=（5-4k²）²，②
将②代入①，可得$\frac{（5-4{k}^{2}）^{2}}{|k|}$+5-4k²＞0，
化为5-4k²＞0或$\left\{\begin{array}{l}{5-4{k}^{2}＜0}\\{5-4{k}^{2}+|k|＜0}\end{array}\right.$，
解得k∈（-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）∪（-∞，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．