Question

4．已知双曲线M：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1与抛物线N：y²=2px（p＞0）的一个交点为A（4，m）．
（1）求抛物线N的标准方程；
（2）设双曲线M在实轴上的顶点为C、D，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）将A的坐标代入双曲线的方程，可得m，再将A的坐标代入抛物线的方程可得p，即可得到抛物线的方程；
（2）求得双曲线的顶点C，D的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）将A（4，m）代入双曲线的方程可得
$\frac{16}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{5}$=1，解得m=±$\sqrt{15}$，
再将A（4，±$\sqrt{15}$），代入抛物线的方程可得
15=8p，解得p=$\frac{15}{8}$，
则y²=$\frac{15}{4}$x；
（2）双曲线M在实轴上的顶点为C（-2，0）、D（2，0），
又A（4，m），
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=（-2-4，-m）•（2-4，-m）=（-6）×（-2）+m²
=12+15=27．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的方程的运用，以及向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．