Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为k，k是mn的最小值，其中m，n满足$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\sqrt{mn}$，且右焦点与抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 运用基本不等式可得mn≥2，求出最小值，由渐近线方程可得b=2a，求出抛物线的焦点，可得c，即a²+b²=5，解得a=1，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\sqrt{mn}$，可得m，n＞0，
由$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$，即有mn≥2，
当且仅当m=n=1时，取得最小值2．
由双曲线的渐近线方程可得y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$=2，
由抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点为（$\sqrt{5}$，0），
可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
解得a=1，b=2，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用基本不等式和抛物线的焦点坐标，考查化简整理的运算能力，属于中档题．