Question

20．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为l时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{10}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$）
• D． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）

Answer 1

分析 斜率为1的直线l过双曲线C₁的右焦点，且与双曲线C₁左右支各有一个交点，可得$\frac{b}{a}$＞1，再利用离心率的计算公式即可得出e＞$\sqrt{2}$；再由直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则$\frac{b}{a}$＜3，求得e＜$\sqrt{10}$．进而得到所求范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由斜率为1的直线l过双曲线C₁的右焦点，
且与双曲线C₁左右支各有一个交点，
则$\frac{b}{a}$＞1，即b²＞a²，c²＞2a²，
可得e＞$\sqrt{2}$；
又当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，
则$\frac{b}{a}$＜3，即即b²＜9a²，c²＜10a²，
可得e＜$\sqrt{10}$．
综上可得，$\sqrt{2}$＜e＜$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查离心率的范围，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．