Question

8．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，虚轴长为4．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=1，b=2，进而得到双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，代入双曲线的方程，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）依题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\sqrt{5}\\ 2b=4\\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.$，
解得$a=1，b=2，c=\sqrt{5}$，
∴双曲线的标准方程为${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．                 
（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 4{x^2}-{y^2}=4\end{array}\right.$可得3x²-2x-5=0，
由韦达定理可得 ${x_1}+{x_2}=\frac{2}{3}$，${x_1}{x_2}=-\frac{5}{3}$，
即 $|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{20}{3}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，
原点到直线l的距离为$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
于是${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•|{AB}|•d=\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{2}}}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{3}$，
∴△AOB的面积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．