Question

13．直线l的斜率为-1，在y轴上的截距为1，且与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）

Answer 1

分析 求得直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量的数量积为0，即可得证．

解答 证明：由题意可得直线l的方程为y=-x+1，
代入双曲线的方程3x²-y²=1，可得
x²+x-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=2x₁x₂+1-（x₁+x₂）
=-2+1+1=0，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即有OA⊥OB．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．