Question

19．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的中心为原点O，左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{5}{4}$，且过点M（5，$\frac{9}{4}$），又P点是直线x=$\frac{{a}^{2}}{5}$上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足$\overrightarrow{P{F}_{2}}•\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0．
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{|MH|}{|HN|}$，证明点H恒在一条定直线上．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的a，b，c的关系，即可求得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）设出P（$\frac{16}{5}$，t），Q（x₀，y₀），代入双曲线的方程，再由$\overrightarrow{P{F}_{2}}•\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，得到方程，再由直线的斜率公式，得到直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值$\frac{9}{16}$；
（3）设点H（x，y），且过点（$\frac{16}{5}$，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则9x₁²-16y₁²=144，9x₂²-16y₂²=144，即y₁²=$\frac{9}{16}$（x₁²-16），y₂²=$\frac{9}{16}$（x₂²-16），设$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MH|}{|HN|}$=λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线9x-5y-45=0上．

解答 解：（1）双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0），c²=a²+b²，
由于离心率为$\frac{5}{4}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
即有$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{25}{16}$，
M（5，$\frac{9}{4}$）代入双曲线的方程可得$\frac{25}{{a}^{2}}$-$\frac{81}{16{b}^{2}}$=1，
解得a=4，b=3，c=5，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）证明：由于点P是直线x=$\frac{{a}^{2}}{5}$=$\frac{16}{5}$上任意一点，
可设P（$\frac{16}{5}$，t），
再由Q为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1一点，可设Q（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}$=1，即y₀²=$\frac{9}{16}$（x₀²-16）．
由F₂（5，0），
则$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（5-$\frac{16}{5}$，-t）•（5-x₀，-y₀）=0，
即有9-$\frac{9}{5}$x₀+ty₀=0，即有ty₀=-9+$\frac{9}{5}$x₀，
则k_PQ•k_OQ=$\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-\frac{16}{5}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-t{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{16}{5}{x}_{0}}$
=$\frac{\frac{9}{16}（{{x}_{0}}^{2}-16）-\frac{9}{5}（{x}_{0}-5）}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{16}{5}{x}_{0}}$=$\frac{9}{16}$，
则直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值$\frac{9}{16}$；
（3）证明：设点H（x，y），
且过点P（$\frac{16}{5}$，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则9x₁²-16y₁²=144，9x₂²-16y₂²=144，
即y₁²=$\frac{9}{16}$（x₁²-16），y₂²=$\frac{9}{16}$（x₂²-16），⑥⑦
设$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MH|}{|HN|}$=λ，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PN}}\\{\overrightarrow{MH}=λ\overrightarrow{HN}}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-\frac{16}{5}，{y}_{1}-1）=λ（{x}_{2}-\frac{16}{5}，{y}_{2}-1）}\\{（x-{x}_{1}，y-{y}_{1}）=λ（{x}_{2}-x，{y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
整理，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-λ{x}_{2}=\frac{16}{5}（1-λ）①}\\{{y}_{1}-λ{y}_{2}=1-λ②}\\{{x}_{1}+λ{x}_{2}=x（1+λ）③}\\{{y}_{1}+λ{y}_{2}=y（1+λ）④}\end{array}\right.$
由①×③，②×④得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}=\frac{16}{5}（1-{λ}^{2}）x⑤}\\{{{y}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{y}_{2}}^{2}=（1-{λ}^{2}）y⑥}\end{array}\right.$，
将y₁²=$\frac{9}{16}$（x₁²-16），y₂²=$\frac{9}{16}$（x₂²-16），代入⑥，
得y=$\frac{9}{16}$×$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$-9 ⑦
将⑤代入⑦，得y=$\frac{9}{5}$x-9．
所以点H恒在定直线9x-5y-45=0上．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标公式，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．