Question

11．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是左，右焦点，P是右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，垂足为H，若OF₁=$\frac{4}{3}$OH，则离心率e=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），令x=c，求得|PF₂|，运用直角三角形中正切函数的定义，结合离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
令x=c，则y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
在△OF₁H中，由OF₁=$\frac{4}{3}$OH，可得
OH=$\frac{3}{4}$c，HF₁=$\sqrt{{c}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-\frac{9}{16}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$c，
tan∠PF₁F₂=$\frac{\frac{3}{4}c}{\frac{\sqrt{7}}{4}c}$=$\frac{3}{\sqrt{7}}$，
在△PF₁F₂中，tan∠PF₁F₂=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，
即有$\frac{{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{\sqrt{7}}$，可得6ac=$\sqrt{7}$b²=$\sqrt{7}$（c²-a²），
由e=$\frac{c}{a}$可得$\sqrt{7}$e²-6e-$\sqrt{7}$=0，
解得e=$\sqrt{7}$（负的舍去）．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直角三角形的正切函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．