Question

1．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的一条渐近线与圆x²+（y-2）²=2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． $[\sqrt{2}，+∞）$
• B． [2，+∞）
• C． $（{1，\sqrt{2}}]$
• D． （1，2]

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，可得圆心（0，2）到渐近线的距离d≥r，由点到直线的距离公式可得a的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的一条渐近线设为y=$\frac{x}{a}$，
由渐近线与圆x²+（y-2）²=2至多有一个交点，可得：
圆心（0，2）到渐近线的距离d≥r，
即有$\frac{|2a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$，
解得a≥1，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{1+{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$∈（1，$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．