Question

13．求与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有公共焦点，且离心率$e=\frac{5}{3}$的双曲线的方程．

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点为（±5，0），设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得a=3，b=4，进而得到双曲线的方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$的焦点为（±5，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=5，即a²+b²=25，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
解得a=3，b=4，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查待定系数法求方程，同时考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．