Question

14．已知函数f（x）=lg（2+x）-lg（2-x）．
（1）判定函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判定f（x）的单调性（不用证明），并求不等式f（1-x）+f（3-2x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定义域判断是否对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，得出结论；
（2）利用复合函数的单调性进行判断，根据奇偶性得出f（1-x）＜-f（3-2x）=f（2x-3），再利用单调性列出不等式组求出x的范围．

解答 解：（1）由函数有意义得：$\left\{\begin{array}{l}2+x＞0\\ 2-x＞0\end{array}\right.$，解得-2＜x＜2，
所以函数f（x）的定义域为（-2，2）．
任取x∈（-2，2），则f（-x）=lg（2-x）-lg（2+x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数
（2）f（x）=lg$\frac{2+x}{2-x}$，
令u（x）=$\frac{2+x}{2-x}$=$\frac{4}{2-x}-1$，则u（x）在（-2，2）上单调递增，
∴f（x）=lg$\frac{2+x}{2-x}$在（-2，2）上单调递增．
∵f（1-x）+f（3-2x）＜0，
∴f（1-x）＜-f（3-2x）=f（2x-3），
∵f（x）在（-2，2）单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-x＜2x-3\\ 1-x＞-2\\ 2x-3＜2\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}＜x＜\frac{5}{2}$．
∴不等式的解集为（$\frac{4}{3}，\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，函数奇偶性与单调性的应用，属于中档题．