Question

9．（普通中学做）已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）以及双曲线C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C₁，C₂的离心率之积为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$或4
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线的方程可得$\frac{b}{a}$=tan30°或$\frac{b}{a}$=tan60°，即为b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，利用c²=a²+b²，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率，进而得到所求之积．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
双曲线C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
由渐近线将第一象限三等分，可得：
$\frac{b}{a}$=tan30°或$\frac{b}{a}$=tan60°，
即为b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a或c=2a，
即e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或e=2．
则C₁，C₂的离心率之积为$\frac{4}{3}$或4．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的运用以及双曲线离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．