Question

6．已知圆x²+y²=17在点（1，4）处的切线与幂函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线垂直，且不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax²+x在（1，2）上能成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （$\frac{35}{6}$，+∞）
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 设出幂函数f（x），求出导数，由f′（1）=4，求得f（x），则不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax²+x在（1，2）上能成立，即为a＜x-$\frac{1}{x}$在（1，2）上恒成立，求得右边函数的导数，判断单调性，求出值域，即可得到a的范围．

解答 解：设幂函数f（x）=xⁿ，则f′（x）=nx^n-1，
∵圆x²+y²=17在点（1，4）处的切线与幂函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线垂直，
∴幂函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为4，
则有n=4，
即有f（x）=x⁴，
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax²+x在（1，2）上能成立，
∴不等式x³＞ax²+x在（1，2）上恒成立，
即为a＜x-$\frac{1}{x}$在（1，2）上恒成立，
由于在（1，2）上，x-$\frac{1}{x}$的导数1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，即有（1，2）为增区间，
即有0＜x-$\frac{1}{x}$＜$\frac{3}{2}$，
则有a≤0．
故选：C．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查不等式恒成立思想转化为求最值或值域问题，考查函数的单调性和应用，属于中档题和易错题．