Question

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为

m

m+a

；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为

n

n+a

．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2

．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m_Am元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h_乙．
（1）求h_甲和h_乙关于m_A、m_B的表达式；当m_A=

3

5

m_B时，求证：h_甲=h_乙；
（2）设m_A=

3

5

m_B，当m_A、m_B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件m_A=

3

5

m_B时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．
（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．

解答： 解：（1）h_甲=

mA mA+12 • mB mB+5

，h_乙=

mA mA+3 • mB mB+20

，m_A∈[3，12]，m_B∈[5，20]…3分
当m_A=

3

5

m_B时，h_甲=

mB2 (mB+20)(mB+5)

，h_乙=

mB2 (mB+5)(mB+20)

，
∴h_甲=h_乙…7分
（2）当m_A=

3

5

m_B时，h_甲=

mB2 (mB+20)(mB+5)

=

1 100( 1 mB )2+25• 1 mB +1

，
由m_B∈[5，20]得

1

mB

∈[

1

20

，

1

5

]，故当

1

mB

=

1

20

，
即m_B=20，m_A=12时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

10

5

…13分．

点评：本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．