Question

已知函数f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，数列{

f(n)

g(n)

}的前n项和为

15

16

，则n=（　　）

• A、10
• B、8
• C、6
• D、4

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由于f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，可得

f(x)

g(x)

=ax，由于f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得（a^x）′＜0，因此0＜a＜1．由于

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，代入解得a=

1

2

．可得数列{

f(n)

g(n)

}的通项公式

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n．利用等比数列的前n项和即可得出．

解答： 解：∵f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，
∴

f(x)

g(x)

=ax，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

=(ax)′＜0，
∴0＜a＜1．
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，
∴a+a-1=

5

2

，解得a=

1

2

．
∴数列{

f(n)

g(n)

}的通项公式

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n．
∵此数列的前n项和为

15

16

，
∴

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

15

16

，
解得n=4．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究指数函数的单调性、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．