Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）及圆O：x²+y²=a²，如图过点B（0，a）与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若∠AOB=60°，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由等边三角形可得|AB|=a，设直线AB的方程为y=kx+a（k＞0），求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由∠AOB=60°，可得△ABO为等边三角形，即|AB|=a，
设直线AB的方程为y=kx+a（k＞0），
圆心到直线的距离为d=$\frac{|a|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
弦长|AB|=a=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+a，代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²，
可得（b²+$\frac{1}{3}$a²）x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a³x+a⁴-a²b²=0，
由直线和椭圆相切，可得：
△=$\frac{4}{3}$a⁶-4（b²+$\frac{1}{3}$a²）（a⁴-a²b²）=0，
化简可得b²=$\frac{2}{3}$a²，
由b²=a²-c²，可得c²=$\frac{1}{3}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，联立直线和椭圆方程，由相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．