Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，]上有解，求t的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos²x=（1+cos2x）
∴f（x）=2sinxcosx+2cos²x-t=sin2x+cos2x+1-t
=2（sin2xcos+cos2xsin）+1-t=2sin（2x+）+1-t
当x∈[0，]时，2x+∈[，]，可得-≤sin（2x+）≤1
∴方程f（x）=0有解，即，解之得0≤t≤3；
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+）+1-t=2sin（2x+）-2
可得f（A）=2sin（2A+）-2=-1，sin（2A+）=
∵A是三角形的内角，∴A=
根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos=（b+c）²-3bc
∵b+c=2，可得bc≤（）²=1
∴a²=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3=2²-3=1
即当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．
分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得2sin（2x+）+1-t，结合正弦函数图象与性质，根据f（x）=0在x∈[0，]上有解建立关于t的不等式组，解之即可得到实数t的取值范围；
（II）由（I）得到f（A）=2sin（2A+）-2=-1，结合A是三角形的内角解出A=．结合余弦定理得a²关于b、c的式子，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．
点评：本题给出三角函数式，探索方程f（x）=0在x∈[0，]上有解时t的取值范围，并依此求三角形的边长的最小值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理和基本不等式等知识，属于中档题．