Question

【题目】椭圆： 的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，

由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

又A（﹣2，0），由题知kABkAC==﹣，

则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，

则x1x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）

=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4

=+（2+4km）+4m2+4=0

则m2﹣km﹣2k2=0，

∴（m﹣2k）（m+k）=0，

∴m=2k或m=﹣k．

当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．

此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．

当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．

当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1， ），（1，﹣），满足kABkAC=﹣．

综上，直线BC过定点（1，0）．

故答案为：（1，0）．