Question

（2008•杨浦区二模）设函数F（x）=

f(x) ，f(x)≥g(x) g(x) ，f(x)＜g(x)

，其中f（x）=log₂（x²+1），g（x）=log₂（|x|+7）．
（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F（x）的解析式；
（2）求函数F（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）令log₂（x²+1）≥log₂（|x|+7），解得：x的取值范围，再结合F（x）的意义用分段函数形式写出函数F（x）的解析式即可；
（2）先分情况讨论函数的单调性：当x≥3或x≤-3时；当-3＜x＜3，分别求出F（x）的最小值，最后综合得出x∈R时，F（x）_min=log₂7．
或利用F（x）的奇偶性，只需要考虑x≥0的情形，只须分两种情形讨论：当0≤x＜3，当x≥3时，分别求得F（x）的最小值即得．

解答：解：（1）F（x）=

log2(x2+1) ，log2(x2+1) ≥log2(|x|+7) log2(|x|+7) ，log2(x2+1) ＜log2(|x|+7)

，（1分）
令log₂（x²+1）≥log₂（|x|+7），得x²-|x|-6≥0，（3分）
解得：x≤-3或x≥3，（5分）∴F（x）=

log2(x2+1)，x≥3或x≤-3 log2(|x|+7)，-3＜x＜3

．（8分）
（写出F(x)=

log2(x2+1)，x2+1≥|x|+7 log2(|x|+7)，x2+1＜|x|+7

4分）
（2）当x≥3或x≤-3时，F（x）=log₂（x²+1），设u=x²+1≥10，y=log₂u在[10，+∞）上递增，所以F（x）_min=log₂10（10分）；（说明：设元及单调性省略不扣分）
同理，当-3＜x＜3，F（x）_min=log₂7；（12分）
又log₂7＜log₂10∴x∈R时，F（x）_min=log₂7．（14分）
或解：因为F（x）是偶函数，所以只需要考虑x≥0的情形，（9分）
当0≤x＜3，F（x）=log₂（x²+7），当x=0时，F（x）_min=log₂7；（11分）
当x≥3时，F（x）=log₂（x²+1），当x=3时，F（x）_min=log₂10；（12分）∴x∈R时，F（x）_min=log₂7．（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求解及常用方法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．