Question

（2009•孝感模拟）设函数f（x）=x³+ax和g（x）=bx²+c的一个交点为P（1，m），函数f（x）与g（x）在P点处的切线的斜率的和为2，
（1）用m表示a、b、c；
（2）若函数y=f（x）-g（x）在(-∞，-

1

3

)上是增函数，在(-

1

3

，n)上是减函数，求m的值及n的范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=x³+ax和g（x）=bx²+c的一个交点为P（1，m），则f（1）=m，g（1）=m，而函数f（x）与g（x）在P点处的切线的斜率的和为2，建立等式关系，即可将a、b、c用m表示；
（2）根据题意得函数在x=-

1

3

处取得极值，可求出m的值，然后令y′≤0，求出n的范围即可．

解答：解：（1）依题意得：f（1）=1+a=m，g（1）=b+c=m                                （2分）
∵f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx（4分）∴f′（1）+g′（1）=3+a+2b=2
∴a=m-1，b=-

m

2

，c=

3m

2

                （6分）
（2）∵y=x3+

m

2

x2+(m-1)x-

3

2

m∴y′=3x²+mx+m-1（8分）
依题意得函数在x=-

1

3

处取得极值，即3(-

1

3

)2+m(-

1

3

)+m-1=0
解得：m=1                                                      （10分）
由y′=3x²+x≤0得-

1

3

≤x≤0
∴函数的单调递减区间是[-

1

3

，0]，故n的取值范围是(-

1

3

，0]．（13分）

点评：本题主要考查了函数在某点取极值的条件，以及函数的单调性，同时考查了运算求解能力，属于中档题．