Question

（本题满分12分）. 已知函数

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对都有成立，试求实数a的取值范围；

（3）记，当a=1时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)的单调递增区间是（2，+）,单调递减区间（0,2）；

（2）a的取值范围(0, )；(3) 的取值范围是.

【解析】(1)由题意可知据此可建立关于a的方程求出a的值，再根据导数大（小）于零，来求函数f(x)的单调增区间或减区间.

(2)本小题的实质是都有成立,即,然后利用导数研究f(x)在上单调性求出f(x)的最小值，转化为关于a的不等式求出a的范围.

（3）当=1时，=，(x>0)，然后利用导数研究其单调性和极值，画出草图，从图象上分析函数f(x)的图像与x轴有两个个交点时，应满足的条件,从而得出b的取值范围.

(1) 直线的斜率为1.

函数的定义域为，，

所以，解得                         ………2分

 所以,

，得x>2; 得0<x<2

所以f(x)的单调递增区间是（2，+）,单调递减区间（0,2）     ………4分

（2）==，，

得，得

所以f(x)的单调递增区间是（，+）,单调递减区间（0, ）

当x=时， 取极小值，也就是最小值=           ………6分

 对都有成立，∴>2(

>2(,………8分

∴,  ,.实数a的取值范围(0, )           ………9分

(3) 当=1时，=，(x>0)

 =，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.

所以的单调递增区间是（1，+）,单调递减区间（0, 1）

x=1时取得极小值. ………10分

因为函数在区间上有两个零点，所以……………11分

解得.

所以的取值范围是.                         ……………12分