Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）过原点作函数的切线,求的方程;

（Ⅱ）若对于任意恒成立,试确定实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线与函数相切于点,得切线方程，代入(0,0)即可得解；

（Ⅱ）“对于任意恒成立”,等价于“对于任意恒成立”,等价于“”, 设,求导讨论函数单调性求最值即可.

试题解析：

（Ⅰ）设直线与函数相切于点,

因为,则,

则切线的方程为,

因为过原点,代入上式可得

,即,

所以切线的方程为.

（Ⅱ）“对于任意恒成立”,等价于“对于任意恒成立”,等价于“”,

设,

则,

①当时, 恒成立,满足题意;

②当时, , 单调递增,

由于,不合题意;

③当时,令得,

令得,

所以在单调递减,在单调递增,

,

则,

又,所以,

解得,

综上所述, 的取值范围为.